如何培養低齡孩子的數學思維？

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孩子的數學思維是不是應該從小就開始培養？
好，各位家長，那麼我們現在就開始談談如何培養數學思維能力這個話題。

我們的講座就從PPT當中的這張圖片開始講起。圖片當中是一些很漂亮的玻璃器皿。那爲什麼以這張圖片作爲開場白呢？不知道大家有沒有看過玻璃器皿的吹制過程，玻璃在高溫爐裏被加熱到一定溫度以後，用一根很長的空心鐵管取出玻璃液，在其冷卻前，一邊吹氣一邊進行塑形。冷卻後從鐵管上敲入。這整個過程需要非常迅速而沉穩。

我當初是在歐洲的時候看到這個玻璃器皿的製作過程，當時我就在想，小孩子的思維能力的培養，就好比吹制玻璃器皿。爲什麼要用這樣一個比喻呢？原因有兩個：
其一，思維能力的培養過程不能操之過急，但是你又不能錯過這樣一個黃金時期。就好比玻璃液沒有達到指定溫度之前，你如果拿出來，你想吹也吹不動啊。但一旦取出來以後，到它冷卻下來，這個速度是非常快的。
其二，每個孩子長大以後，都好比一個成型的玻璃器皿，一個器皿能容納多少東西，取決於它容量有多大。我喜歡把這個詞叫做器量。一個孩子學習數學，最終造詣能達到多高，也同樣取決於他的思維能力的強弱。思維能力就好比一個玻璃器皿的一個器量一樣。
我再舉一個生活中很多家長都會碰到的一個問題。他們總是說，初中階段，孩子數學很好，中考145分以上。但進入高中階段以後，每況愈下，最後高考只考了八九十分。高考的滿分也是150分，那這個又是爲什麼？
我想主要原因就是孩子的思維能力在進入高中之後尤其是在高二、高三基本定型，如果孩子的思維能力只到了這個水平，而高中知識體系對思維水平的要求，要比初中高上很多很多。所以，當你的氣量只有這麼大的時候，你到時候想塞進更多的知識體系，更多的內容，絕對是心有餘而力不足。其實，現在這個現象慢慢慢慢在初升高、在小升初已經顯現出來了。

很多家長給我反饋，我的小孩小學數學從來不用我操心，都是九十分、一百分。到了初中以後，怎麼七八十分也出來了，甚至不及格也出來了。其實道理是一樣的。當一個孩子的思維能力跟不上這個知識體系的要求的時候，成績肯定是出不來的。當然，各位家長也不用着急，小升初還屬於思維能力培養的黃金時期，如果你能夠抓住這個時期，把這個能力培養好了，那麼問題也不是很大。但是如果你到了高中再覺得怎麼學都學不上去，那就是比較麻煩的事情了。

那今天，我從三個方面來談一下怎樣進行思維能力的培養。

第一，思維習慣的養成，有哪些良好的思維習慣；
第二，如何培養這些思維習慣；
第三，從不同階段，重點該側重培養哪些不同的數學能力。
首先，影響孩子數學思維能力的因素真的是很多，今天我只是淺談而已。由於今天的聽課對象基本都是低齡階段孩子的家長，所以我覺得最重要的無非是良好思維習慣的養成。
先談談什麼叫思維習慣。教育學當中的定義是：思維習慣是經過反覆練習而形成的一種思維方式，是條件反射長期積累，反覆強化的一個產物。它具有相對的穩定性。那麼思維習慣的重要性到底何在？
我本人是一個吃貨，這裏用吃做一個比喻。知識和理論就好比廚師用的一套廚具，而思維方式就好比這個廚師的廚藝。一個廚師能否做出美味的料理，是取決於他的廚藝呢，還是取決於他利用的這套廚具有多好？那我想肯定是前者，否則就不是廚師，那變成鐵匠了。一個廚師的廚藝的高低，還會影響到他是否能夠儘快學會一道新菜的燒法，或甚至是研發一道新菜的能力。
這種能力，在我看來，就是孩子學習數學的一種思維習慣。所以，思維習慣纔會是陪伴我們終身的東西。那養成良好的思維習慣，提高思維的品質就相當重要了。思維的品質一般都會包含四塊：深刻性、敏捷性、靈活性和獨創性，使學生對數學的好奇心和求知慾得以延續。在學習活動中，獲得成功的體驗，鍛鍊克服困難的意志，建立自信心；體驗探索和創造，感受數學的美與樂趣。我也請各位家長一起好好看看我PPT打出的這四句話。我們細細來品味這四句話。

爲什麼我比較看重這四句話，因爲它涵蓋了一個真正學習數學的人一生會經歷的幾個階段。我們做一下細緻的分析：

首先，你要讓你的孩子開始學習數學，我覺得首先就要有良好的思維習慣，提高思維品質。這是一個建立習慣、提升品質的開端。有了這個開端以後，經常也會有老師跟你們講，學任何東西，興趣是首位。而這裏，興趣確實是最重要的。在培養興趣之前，首先要培養良好的習慣。有了良好的習慣，不斷循環往復，重複的過程當中，他才能漸漸漸漸地對這門學科或一件事情產生好奇心、求知慾，並從中獲得一些成功的體驗，也就是我們說的興趣。
有了興趣以後，隨着他學習的不斷深入，勢必接觸的東西會越來越難，這時就需要他有一些克服困難的意志，包括能夠堅持學下去的自信心。這個就是堅持階段。而一旦走過了這個堅持階段，那麼我覺得他就可以真正去感受數學的美和數學的樂趣。只有經歷了這整個階段，我覺得纔是非常成功的真正學好數學的案例。大家可以發現，這所有的一切，興趣也好，堅持也好，最後達到體驗這件事情的內在美也好，起源就在於他的習慣。那麼下面我們就來具體來談一下，思維習慣它到底有哪些是比較重要的。

良好的思維習慣包括哪些方面？
首先，專注力。在思考數學問題的時候，一定要非常全神貫注地投入進去，心無旁騖。現在我們的孩子回家做作業的時候，可能一邊開着電視，更多的現在可能是一邊看着手機，或者也有一邊聽歌，一邊思考的。這樣我覺得對於數學思考或思考數學問題來說，都是非常不利的。
當然我也不排除某些人，音樂可以讓他的思維更興奮，當然這僅僅限於一些輕音樂或者比較柔美的旋律，絕對不能是一些流行歌曲、有歌詞的歌曲。那麼作爲一個旁觀者來說，作爲家長，如果孩子全身心投入進去以後，一定不能去中斷他的思考。
當一個人完全沉浸在他對數學問題的思考中的時候，如果被人打斷，其實他是會很惱火的。因爲數學的思維是非常嚴謹而連貫的。一旦中斷就很有可能需要從頭來過。如果打擾孩子的思考過程，也會對孩子專注力的持久性產生一個負面影響。

這裏我再舉一個，我們學校經常碰到的一個案例。我們經常會監考，有時候會發現，孩子就算在考試當中，這短短的四十分鐘內，如果外面有上體育課，打籃球，偶爾會發出比較大的聲響，即便是在考試當中，有一些孩子，只要聽到一點聲音，我看到他們的第一反應，就是擡頭看窗外。要知道，這是在考試當中。這就說明一個什麼問題？平時這個孩子在家裏做作業的時候，絕對經常不是全神貫注地投入在思考問題上，可能總會有這樣那樣的事情會干擾到他。

所以，如果平時不注意這點，你想在考試當中，你想專注都專注不起來了。所以這也是爲什麼很多家長反饋：我孩子好像一到了考試，就不在狀態，或者說一逢考試就考不好。這其中專注力就是很大的原因。順便再提一句，很多家長在孩子大了以後，都在苦惱，我的孩子好像新學的東西都懂，但好像計算老是出錯。簡單的問題老是做不對，通常我們都歸結到粗心。其實粗心的背後，是有更深層次的原因。那我覺得很大一部分，就是在做作業、考試的時候，孩子的專注力遠遠沒有達到他需要的這個水準。

第二個，良好的思維習慣是獨立思考的習慣。大家看一下，PPT裏有這樣一道題，因爲現在六年級在上三元一次方程。我覺得家長，如果你有空的話，至少每週抽個一天到兩天，有時間陪陪自己的孩子，跟他探討一下，作業中或在學的題目，孩子有些什麼想法。和他交流一下。如果碰到這樣一道題，我不知道各位家長會怎樣跟自己的孩子探討。

其實這道題的求解方法有很多，當然你可以根據這三個方程中的一式，把一式乘以二，再把三式減掉一式乘以二的式子，我們就直接求出Y，然後再根據剛剛求出的X和Y的值代入求解Z。當你發現你跟你的孩子在這樣探討的過程中，如果他有很多讓你意想不到的發現，或是在解題過程中他給到你一些靈感、思路，我覺得這就是收穫最大的東西。

像我們學校的老師，在平時授課的時候，就很注重在課堂中留給孩子充足的時間去思考，通過獨立思考或者有時候是小組討論的形式。這個思考過程纔是每個孩子收穫最大的環節。每個孩子都投入進去以後，既有利於養成獨立思考的習慣，又保證整堂課的專注力。然而在課堂的實踐，畢竟還是有限的，在課餘，孩子其實有更多的時間。

所以，我們的家長要鼓勵孩子，一定要多獨立思考，不要動不動就藉助一些搜題工具，或者是一些發達的通訊手段，這種種都很不利於培養孩子獨立思考的習慣，讓他們產生一種過度依賴性。其實我們覺得自己悟出來的，跟別人告訴你的，之間真的是差了十萬八千里。哪怕你的孩子，這道題他只悟出了十分之一，但只要他有他自己一點點的想法，我覺得也比他模仿別人的方法，更讓你值得慶幸。孩子自身的收穫也會更大。這是獨立思考的習慣。

第三，觀察的習慣。觀察也是一個很好玩的東西，我們經常在上課的時候，讓孩子去觀察，你觀察一下這道題的條件有什麼特徵啊、有什麼規律啊。接着你就會發現，有些小孩子，兩眼很專注地望着你的黑板，但是你一看，就知道他兩眼很無神。這時候，你去問他，你觀察到了什麼，他會做的就是把你黑板上的題目讀一遍。這就是很多孩子眼中所謂的觀察。

其實，在我看來就是兩眼盯着題目在發呆。我覺得這種觀察，等於就在放空啊。我所說的真正的觀察，是有目的、有計劃、有系統地去看。首先，孩子要明確，這道題到底是要解決什麼問題，之後纔去觀察。什麼叫系統性？一道題，有很多的語句、條件組成。如果這個觀察只是把字跟字、語句跟語句讀出來，這就不叫觀察。你要去思考，要去想一下，語句跟語句之間的內在聯繫。這就是系統性地看，或者是有計劃性地看。

觀察也有很多的小方法。比如在極其相似的一些題目或者事物中尋找它們不同的地方；或者又在極其不相似的題目或事物中，尋找相同的事物或方法。我們把它簡稱爲求同存異。當然，這是數學中的求同存異，是一種觀察的方法。

在這裏，我也舉一道奧數題目來跟大家分享。我們小朋友在講這道奧數題，我問他們觀察到了什麼東西。有小朋友就講，我觀察到了ABCDEFG，我就講，這又不是一堂英文課，是一堂數學課。其實，那個小朋友在觀察的時候，他只是在簡單的讀題。那真正我們觀察到這道題的時候，應該去怎麼想呢？

首先，你有沒有發現，這個方程組當中，等號左邊所有的字母前的係數都是整數，而等號右邊，DCB的前面卻是分數。當你觀察到這一點的時候，那你第一反應是什麼呢？是不是我把這些分數也都換成整數，利用等式的基本性質，這四個等式就變成了四個方程。

接着再觀察什麼？字母A前的係數，這就要看各個字母前的係數規律，就是我講的系統性內在的一些聯繫。第一個方程，字母A前的係數是16，第一和第二個方程字母B前的係數和是8加8，也是16；前三個方程字母C前面的係數和是8加4加4，也是16；那字母D，前四個方程，字母D前的係數加起來8加4加2加2，也是16。觀察到這裏，字母E，大家發現，字母E前的係數和，是15。那前面各個字母，如果把係數全部加起來，都是16，只有最後一個是15。

如果孩子觀察到這個規律，那好了，這道題百分之七八十就已經解出來了。只要做一個操作，把四個方程全部加起來，一式加二式加三式加四式，當你把這個式子寫出來以後，自然而然這道題就迎刃而解了。通過這個例子，我想教會孩子或者家長，怎麼去培養孩子的觀察能力，是有計劃、有系統、有目的性地去看。

第四個良好的習慣，就是不侷限於解題。要探究最優的一種策略，從不同角度去研究同一個問題。我在指導競賽的過程中，經常發現孩子們往往只滿足於找到題目的答案，卻忽略了找尋答案的思維過程。你的過程每一步是否都足夠嚴謹，是否足夠優化，是否可以用其他的方法知識體系重新詮釋這個問題。其實這些問題都是非常值得思考的。而思維的一種發散能力，也是在這些問題的思考中，纔會慢慢慢慢得以提高的。

在學習數學的過程中，你會發現，所有的結果都是確定的，對就是對，錯就是錯。沒有模棱兩可、半對半錯的情況。但在探索結果的過程，卻可以是千變萬化的。我們經常舉一個專業例子，六七年級的小孩子，在學習解方程或者在解不等式的時候，他們只能從代數的角度出發。

大家從我的PPT上面的圖片， 比如3X+3>0對於六七年級的小朋友來說，他們看到眼裏，這個不等式只是一個不等式，只能從代數角度去理解。而到了八年級，學習了函數以後，你完全可以把3X+3看成一次函數的解析式，也就是令它爲Y，Y等於3X+3。

這時候我們可以再從另一個高度和角度理解這個不等式，也就是Y要大於零，也就是在這個函數圖像上X軸上方的圖像所有的點所對應的橫座標的範圍其實就是剛纔那個不等式X的解析。當他學了新的知識體系以後，他就能站在不同的角度和層次重新來解釋這個不等式，給它賦予一些新的神祕。

現在實際情況是，很多學生都說3X+3>0這個不等式，我很快解一下就可以解出X的範圍，爲什麼非要再用一次函數去解釋它，用圖像再來看？那麼麻煩，解出的結果跟我直接用不等式解出的是一樣的結果。

大家可以看一下，2009年的高考題。這道題對初中學生很難。如果你的孩子是競賽學得很好，或者已經涉及相關知識，你問他，這道題可以用不等式代數來解嗎？真的會很難很難，但是卻可以通過分析函數圖像、位置關係的角度很快就能解出來。而這道題就是我們高考中很常見而且難度也不算太大的題目。

這就說明什麼？也就是你接觸到的知識體系只有到了這個水平，你可以用代數方法、幾何方法都可以解決。但是一旦你接觸到了更難的題目以後，很可能你的代數方法就失效了。但是你的幾何方法還是行得通的。所以說，現在對於我們這個低齡階段的孩子來說，如何儘可能多的從不同角度去看待同一個問題，從不同角度出發研究不同的方法，這種能力和習慣是非常重要的。

第五個重要的習慣，從不同角度研究問題。

我剛好聽了學校老師的公開課，他講了研究三角形中位線性質定理的一堂課。這位老師，他花了整堂課一半以上的時間都在研究三角形的中位線性質定理是如何推導出來的。我覺得這堂課的設計真的是非常好，如果我們要上三角形中位線性質定理的課，其實這課上最主要的不是教會這個性質定理，這個應該是最後給學生的一個結論。

而本堂課的出發點和用意應該是如何用我們以前學過的一些知識點、簡單的性質定理來推導出現更高級的定理。這樣一個思考過程，邏輯思維的思考過程，纔是我們希望通過一堂課能夠帶給孩子的。基本上，我們學校老師在講課的時候，都會遵循這樣一個原則。每堂課不是教會孩子們某個知識點——這個我認爲是最低層次的東西，而是得到這個知識點的一個過程，一個邏輯體系。把這個體系落實好了，我們才能慢慢慢慢培養孩子的獨立思考問題，從不同角度看待問題的能力。

第六個，反思的習慣。大家可以看到，我拍了一個學生的錯題集的整理。大家可以看到，首先，上面有題目，有正確的解題過程。接着我最想講的是右邊的錯題原因。當然，由於這只是一個六年級的小朋友寫的，我覺得能寫到這個程度，也已經非常不錯了。隨着年齡程度的提高，我們也能以更高的要求去要求孩子。

論語提到，學而不思則罔，只讀書不思考，就會不深刻。而在數學中，只解題，不反思，同樣也會影響到思維的深刻性。如果你只是把題目解出來，那麼你等於只停留在題目本身這個層次。我們經常說，走兩步，要回頭看看你走過的那段路，你就會有不一樣的人生感悟。同樣，解完一道題以後，回想一下你解題的整個過程，哪裏是關鍵，哪裏是亮點，哪裏有不夠嚴謹的地方，哪裏還可以更完善，這其中的收穫，你就可以自然而然地感覺得到。題目背後那些更深層次的東西就會慢慢顯現出來。

這種更深層次的東西，可能是一種方式方法，可能是一種豁然開朗的感慨。甚至我們可以從一道題目中體會到一種價值觀，這也就是一種數學的美，當然，反思也不僅僅侷限於當下。你也可以建議孩子拿出以往解決的一些好題，回過頭來看看以前的東西，看看從前的思路，現在有了更成熟的知識體系之後是否讓你有一些不一樣的思考。

第六個良好的思維習慣，就是書寫和表達的習慣。我拿了同樣是我班上兩個學生，大家可以比較一下，見到同樣兩道題，不管思路、解題方法、答案是否正確，你的第一感覺是什麼？其實這一點是很多家長和學生最容易忽視的一點。我同樣以競賽學生爲例，由於小學競賽，我覺得在書寫或表達方面是比較弱化的，這也進一步促使了孩子只看重結果，不看重過程的趨勢。

很多孩子書寫過程能力比較弱，表達能力更不用提。而進入初中以後，尤其往上到初一、初二甚至初三以後，你會發現你面對的問題越來越複雜。你不可能所有的思考步驟都在你的腦子裏完成，最後就能把答案想出來。一定是需要良好的書寫過程來配合你的思維。可以這麼說，如果你的孩子養成了一個良好的書寫習慣，他在解決這些複雜問題的時候，思路也會更順暢。所以培養孩子規範、整潔、細緻的書寫習慣，對思維的順暢是非常重要的。

同樣，我們還要培養孩子的一種表達能力。除了會做會寫，還要會講。能不能把自己的思路講清楚，也體現了孩子思維的條理性是否層次分明。再從專業的角度講下書寫和表達的重要在哪裏。因爲數學學習中涉及到幾種不同語言的相互轉化，我們一般稱之爲三種語言：
一、自然語言，用文字來表達的意思；
二、符號語言，用數字、字母替代文字語言表達；
三、圖形語言，尤其學到幾何以後，怎麼寫幾何的證明過程，或者就剛剛我舉的一個例子，一次函數的圖像，圖形語言也叫圖像語言。

怎麼做到這三種語言自然切換，用哪種語言你都能表述好，這就非常考察學生的一種表達能力。表達的能力體現在哪裏，其實就是一種書寫和表達的習慣。

第七點，檢驗的習慣。大家看一下，檢驗的習慣，我也舉了一個例子，上面的一道作業題。這個小朋友非常好，解出這道題，對有些小朋友並不是太難。但這個小朋友在解出這道題之餘，他在他的選項下面寫下了“或無意義”這四個字。儘管他的思考還沒有達到很成熟，或者這道題並不存在無意義的情況，但是他骨子裏有一種批判思維。這種批判思維就是源於一種檢驗的習慣。這裏求X:Z的比值，那Z不爲零的一種情況是否可能存在呢？題目中只提到了X不爲零，並沒有說Z不爲零，他就考慮到了這一點，我就想他小時候有一種很好的批判性思維。

我再以競賽爲例，參加過比賽的小朋友就說，會遇到很多考察函數最值的一種競賽題。當你用配方法或基本不等式等方法求出一個函數最值的時候，有些小孩子就會很高興地把求出這個函數的範圍小於等於多少，大於等於多少，把其中的等號作爲函數的最值作爲答案寫上去。

其實很多競賽題，它的陷阱就在於這個等號是取不到的。如果你的孩子從小有一種很強的檢驗意識，那麼他就會比其他孩子更容易想到，我要去檢驗一下，我求出這個函數的範圍以後，這個小於等於，大於等於，這個等號是否滿足我取到的條件呢?只要他多想這一步，他就是能夠發現這個陷阱，解決這個問題。

以上七點就是我主要想講的，培養孩子思維能力最重要的七個思維習慣。再回顧一下這七個習慣：
第一種，就是提高孩子的專注力；
第二種，就是獨立思考的習慣；
第三個，觀察的習慣；
第四個，從不同角度研究問題的習慣；
第五個，反思的習慣；
第六個，書寫表達的習慣；
第七個，檢驗的習慣。

那爲什麼我會總結這七個習慣？不知大家在聽講的時候有沒有發現，其實剛剛我們提到過，思維品質就包括四個點：一、深刻性，二、敏捷性，三、靈活性，四、獨創性。
我們回過頭看一下，剛剛我提到的這些習慣當中，第二個獨立思考的習慣就是思維品質中的獨創性。一定要讓你的孩子提出自己的觀點和意見，無論這個觀點意見是對是錯。其實結果並不重要，重要的是他真的自己去思考了。
第三個觀察的習慣，有些同學一看這道題，就知道它的題目條件與條件之間有些什麼規律，或者說他就能很快地看出這其中的一些端倪。這就是什麼的體現？這就是思維品質當中的敏捷性的體現。
那第四點，從不同角度研究問題，這就是思維品質當中的一種靈活性的體現。我能不能一題多解？然後第五個反思的習慣，就是我剛剛提到的思維的深刻性。回過來想想，這道題我有些什麼收穫，這就體現了思維的深刻性。

如何培養良好的思維習慣？
講到這裏，接着我們進入第二個話題，如何去培養思維習慣的一些具體的方法。這個，我簡單言之，從兩個方面來講。
第一個方面，讓學生養成良好的思維習慣確實不是一個輕而易舉的事情，由於低齡階段的孩子自覺性確實不強，自控能力、意識都比較低，所以要通過必要的一些強制手段，或者說教育培養才能夠達到上面所說的良好思維習慣。

通常會有三個階段：
一、約束，我前面講到的適當的強制手段；
二、慢慢慢慢讓你的孩子適應這種約束；
三、順其自然。

我覺得可以從以下幾個方面入手：
一、從學習興趣和動機入手。學生對數學的迷戀往往從興趣開始的，由興趣產生動機，再由動機到他願意思考，再由思考到思考成功並且從成功的快感中產生新一輪的興趣和動機，推動這個學習不斷前進。所以，一開始，數學興趣和動機的培養就是良好習慣培養的開始。這就需要我們在適當的階段給予孩子適當的支持，或者讓孩子解決一些適當的問題，讓他們跳一跳就能夠得到，而這樣就能夠形成一個良性循環。

爲什麼這樣說呢？因爲像很多家長也會反饋，我的孩子已經是進入一種惡性循環的趨勢，一開始就沒有興趣，越沒有興趣就越不學。越不學就越沒有成就感，他就越不喜歡。我覺得一開始對孩子的定位就非常重要，你不在於讓他一開始就解決多難的問題，學多難的知識點，在於要讓他跳一跳，就能感受到達成自己，發現自己的一些與衆不同的地方，或發現自己一些特長，感受到我能解決一些問題，他有了這個興趣以後，良性循環才能夠慢慢形成。
當然，第二點，這裏講的就是要能夠嚴格要求。嚴格要求當中分爲兩點，一個合理適度的要求，就是要符合孩子認知發展的規律。一開始對他的要求一定要是他努力能夠達到的。讓他在努力之後得到精神上的一種滿足和鼓勵。這裏我引用其他老師的一段話，不能像伊索寓言裏面看到那個又紅又大的葡萄的狐狸，它想吃卻跳的筋疲力盡，只能說這個葡萄是酸的。在數學學習中，也是這個道理。

第二個，具體、明確地要求孩子。這裏就是適當的約束手段。你一定要去提出明確的要求。比如，前面講到的專注力的培養，你跟孩子約定好，我接下來一個小時做數學，這一個小時就要全神貫注地做數學，杜絕其他一切的可能，在這一個小時裏，你的手機該收掉的就要收掉，強制性地收掉。當然，我們的家長在這一個小時裏面，也要儘量地不要打擾孩子，然後如果他能夠專注一個小時，那再慢慢慢慢延長，提高他專注力延續的時間。

再比如，孩子獨立思考習慣的培養。現在的輔助手段實在太多，萬能的搜題工具，便攜的通訊工具，絕對都阻礙了我們孩子獨立思考能力和毅力的培養。對於孩子來說，那些跳一跳才能解決的問題，就要留給他充分的時間去思考。同樣在這段時間內，絕不允許他藉助任何外力和手段。

如果過了一段時間，他有了自己的一些點滴思考，但不足以解決這個問題，那我們再讓他去尋求其他的一些幫助。但現在的孩子，可能一上來，想了一分鐘，沒什麼想法，立馬去搜題，立馬跟同學去討論，去問別人是怎麼做的。現實情況就是這樣。因爲現在的手段實在是太發達了。

再比如反思習慣的養成，我們就可以要求我們的孩子，準備一本習題冊，收集他認爲好的問題，告訴他這本習題冊就該怎麼做，我該有哪幾塊東西，該有正確的解題過程，該有反思的環節，他寫得好與不好無所謂，一定要讓他寫，多少寫出一點東西來。

講到這裏，我們學校還有一個六年級的老師，每週會讓班裏的學生寫一篇這周學完以後數學的感悟。我覺得這是一種非常好的方法和手段，這也是一種反思，就是在學習過程中你可以談知識點的學習，在學習中本週本來弄不懂什麼問題，但通過堅持不懈的努力，終於解決它。這就是我剛纔提到的毅力、價值觀的一種收穫。這是更高層次的收穫，比收穫知識什麼要強得多。

再接下來，比如書寫表達的習慣，書寫不規範，我必須要求責令整改，重寫，並且經常要問問孩子，表達能力怎麼鍛鍊，你爲什麼要這樣做，是什麼條件引領了你這種思路。那麼基本上各種習慣的培養，我覺得給大家提出了具體的要求。

不同階段該培養孩子哪些不同的數學能力

第三塊，我們談一下在不同階段該培養孩子哪些不同的數學能力。孩子的思維能力，一定要遵循他的認知發展。各種數學能力的培養，其實也要循序漸進的。這裏同樣舉一個例子，很多家長也問到我們，是否要在小學階段學初中的內容，要在初中階段學高中的內容，尤其要對於那些很好的孩子。或者說學競賽的孩子。那我這裏的回答是，小學階段你是否學完了初中階段的內容，或者是初中階段你是否學完了高中階段的內容，一點都不重要。

我是不看重他到底學了多少內容，重要的是剛剛講到的良好的思維習慣，你是否有了。尤其是你在初中階段畢業的時候，因爲小初階段是培養這些思維習慣的黃金期，到了高中高二高三，可能你就基本已經定型了。前段時間我們學校邀請了畢業於延安初中的現任IMO國家集訓隊的教練給我們的孩子做分享，他們都提到了自己的一些親身經歷，其中何老師就說，自己其實從初二纔開始系統地學習競賽，還有IMO的金牌得主，曲正華老師，他提到了自己在初三期間根本沒有學任何高中的內容，他是在進入高一以後花了三個月的時間把高中課程都學完了。

從他們的這段話中，說明了什麼問題？只要你具備了良好的思維能力，或者是一種自學能力，數學是不用教的。你會發現，他們一個在初二才學競賽，一個三個月就能把高中課程學完，這就說明數學的整個知識體系對於一個會學習、有思維能力的學習來說，那是小菜一碟的東西。那你幹嘛還非要在現在應該培養思維能力的階段急着學這些東西呢？

我再退一步講，哪怕到了高一高二，你只要這些能力鍛鍊好了，你想什麼時候學，都不晚。而且你會學得很高效，很深入。所以，學習數學，老師確實只是一個引路人，更多的是要靠自己悟，這一點跟參禪是一樣的。所以，不要再追求讓孩子儘快學完什麼高中內容，初中內容，看似他學了很多，如果沒有思維能力作爲依託，那他學的也只是皮毛，只會背背公式，背背定理，但是真正這些背後的東西，他是學不到的，所以反而在最應該培養孩子思維和能力的階段，你忽略了這些而去追求你的孩子學了多少東西，那這真是本末倒置。

最後，我再來談一下，在不同階段，孩子應該重點培養哪些能力，給大家一些建議。

從競賽角度，在小學階段，主要培養孩子對數字的感知力，數學思維的靈活性。我覺得這個方向是非常正確的。因爲小孩子年齡越小，就越應該讓他們打開自己的思路，盡情去想各種各樣有趣的奇思妙想，甚至有些奇怪的方法。而不要過多過早地灌輸一些方法和套路，這樣就制約了孩子的一個思維的發散性。但是這是我的觀點。

現實情況卻是另外一方面。比如功利一點，爲了競賽拿獎，我要快速地解題，很多孩子從剛開始接觸奧數的時候，他們接觸的更多的是記憶、模仿一些技巧型的解題方法。孩子對此樂此不疲，爲什麼，因爲老師講的這些技巧型解題方法，很好，我一套公式就立馬解出題目。但你爲什麼能套，爲什麼套一套出來的就一定是正確答案。問很多孩子，他都不知道所以然。

如果這樣學，忽略了整個思考、理解、分析的過程，久而久之我們的小朋友就會變成解題機器，阻礙了思維的創造性、發散性，這樣學的小孩子可能小學還能拿個一等獎、二等獎，到了初中可能是三等獎，甚至拿不到獎。到了高中，你就不一定能進入競賽了。因爲這樣學，越往上，越易碰到思維的瓶頸。因爲你的孩子打從一開始，就沒有從思維能力培養的角度去入手。所以，小學階段一定要解放孩子的這種思維。

我們經常講解放孩子的天性，其實學數學是一樣的。小學階段隨他怎麼行，敢想敢講，講錯沒有關係，敢想敢講的過程就是孩子能力提高的必經過程。慢慢進入初中以後，我就要強調數學思想能力的培養，就有一些系統性了。隨着知識體系的完善，就要有系統性。在預初到初一階段，我們重點培養孩子的計算能力以及從數字到字母的一個思維的抽象能力。其實這跟我們教材的編寫是完全符合的。

我們可以看一下，六年級從有理數的計算開始，到方程、不等式的計算，主要都是偏重於計算類的。然後到了初一上半學期，整式、分式，開始從數字到字母了。這就是從數字到字母的抽象過程，初步培養我們孩子抽象思維的能力，以及我前面提到的用符號語言來表達書寫解題過程的能力。那到了初一到初二階段，主要培養孩子平面幾何想像能力、邏輯推理能力。

同樣，教材體系設計是這樣的，初一下半學期主要開始學習平行線、三角形全等，而到了初二下半學期，就會用很大一塊兒學習四邊形的平面幾何的性質定理。這時候孩子就將全面接觸平面幾何學，培養他們對幾何圖形的分析、想象能力。當然，與此同時，邏輯推理能力以及前面提到的幾何語言表達能力，也是在這一階段要重點培養的。到了初三以後，我們就開始重點培養孩子的一些數據分析能力和綜合建模能力。

在前期抽象能力、邏輯能力或者數據分析能力漸趨成熟以後，我們就需要孩子綜合運用上述能力解決一些實際的問題，比如收集來的大量數據，怎麼整理、分析，然後在數據的基礎上，怎麼構建一個合理的數學模型，再利用數學模型去評估一套最優的方法、策略，從而解決我們生活中的一些實際問題。其實這就是我們要讓孩子學習數學的一個最終的、或者說比較高層次的目的。

如果達到了這個水平，那我可以說，他的這種思維能力，包括我前面講的數學能力，基本上都已經具備了。所以，總而言之，思維能力的培養主要還是從思維習慣的養成開始。所以，今天講座的三分之二的時間都花在思維習慣上。而數學能力的培養，也一定要循序漸進，能力好了，所有的知識理論，什麼高中教材、初中教材，都是你的囊中之物。你想學多少，自己學，都可以。那個時候，我可以說，你的孩子，就已經出師了。那個時候，他不再是學術型，而是他自己真的是在探索數學，研究數學，甚至是欣賞數學。