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第一章 數和數的運算
一、概念
(一)整數
1、整數的意義
自然數和0都是整數。
2、自然數
我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3叫做自然數。一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。
3、計數單位
一(個)、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億都是計數單位。其中“一”是計數的基本單位。10個1是10，10個10是100每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進制計數法。
4、數位計數單位按照一定的順序排列起來，它們所佔的位置叫做數位。
5、整數的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在後面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數位連續有幾個0都只讀一個零。
6、整數的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。
7、一個較大的多位數，爲了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。有時還可以根據需要，省略這個數某一位後面的數，寫成近似數。
⑴準確數：在實際生活中，爲了計數的簡便，可以把一個較大的數改寫成以萬或億爲單位的數。改寫後的數是原數的準確數。例如把1254300000改寫成以萬做單位的數是125430萬;改寫成以億做單位的數12.543億。
⑵近似數：根據實際需要，我們還可以把一個較大的數，省略某一位後面的尾數，用一個近似數來表示。例如：1302490015省略億後面的尾數是13億。
⑶四捨五入法：求近似數，看尾數最高位上的數是幾，比5小就捨去，是5或大於5捨去尾數向前一位進1。這種求近似數的方法就叫做四捨五入法。
8、整數大小的比較：位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大，那個數就大;最高位上的數相同，就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。以此類推。
(二)小數
1、小數的意義
把整數1平均分成10份、100份、1000份得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾可以用小數表示。如1/10記作0.1,7/100記作0.07。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的數叫做小數部分。小數點右邊第一位叫十分位，計數單位是十分之一(0.1);第二位叫百分位，計數單位是百分之一
(0.01)小數部分最大的計數單位是十分之一，沒有最小的計數單位。小數部分有幾個數位，就叫做幾位小數。如0.36是兩位小數，3.066是三位小數
在小數裏，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位“十分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是10。
2、小數的讀法：讀小數的時候，整數部分按照整數的讀法讀，小數點讀作“點”，小數部分從左向右順
次讀出每一位數位上的數字。
3、小數的寫法：寫小數的時候，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角，小數部分順次寫出每一個數位上的數字。
4、比較小數的大小：先看它們的整數部分，，整數部分大的那個數就大;整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大;十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大
5、小數的分類
⑴純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如：0.25、0.368都是純小數。
⑵帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。例如：3.25、5.26都是帶小數。
⑶有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數。
⑷無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。例如：4.333.1415926
⑸無限不循環小數：一個數的小數部分，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環小數。例如：∏
⑹循環小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重複出現，這個數叫做循環小數。
例如：3.5550.033312.109109
一個循環小數的小數部分，依次不斷重複出現的數字叫做這個循環小數的循環節。例如：3.99
的循環節是“9”，0.5454的循環節是“54”。
⑺純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數。例如：3.1110.5656
⑻混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環小數。3.12220.03333寫循環小數的時候，爲了簡便，小數的循環部分只需寫出一個循環節，並在這個循環節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環節只有一個數字，就只在它的上面點一個點。
(三)分數
1、分數的意義
把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。在分數裏，中間的橫線叫做分數線;分數線下面的數，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份;分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。
把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。
2、分數的讀法：讀分數時，先讀分母再讀“分之”然後讀分子，分子和分母按照整數的讀法來讀。
3、分數的寫法：先寫分數線，再寫分母，最後寫分子，按照整數的寫法來寫。
4、比較分數的大小:
⑴分母相同的分數，分子大的那個分數就大。
⑵分子相同的分數，分母小的那個分數就大。
⑶分母和分子都不同的分數，通常是先通分，轉化成通分母的分數，再比較大小。
⑷如果被比較的分數是帶分數，先要比較它們的整數部分，整數部分大的那個帶分數就大;如果整數部分相同，再比較它們的分數部分，分數部分大的那個帶分數就大。
5、分數的分類
按照分子、分母和整數部分的不同情況，可以分成：真分數、假分數、帶分數
⑴真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小於1。
⑵假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大於或等於1。
⑶帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。
6、分數和除法的關係及分數的基本性質
⑴除法是一種運算，有運算符號;分數是一種數。因此，一般應敘述爲被除數相當於分子，而不能說成被除數就是分子。
⑵由於分數和除法有密切的關係，根據除法中“商不變”的性質可得出分數的基本性質。
⑶分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數(0除外)，分數的大小不變，這叫做分數的基本性質，它是約分和通分的依據。
7、約分和通分
⑴分子、分母是互質數的分數，叫做最簡分數。
⑵把一個分數化成同它相等但分子、分母都比較小的分數，叫做約分。
⑶約分的方法：用分子和分母的公約數(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最簡分數爲止。
⑷把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。
⑸通分的方法：先求出原來幾個分母的最小公倍數，然後把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。
8、倒數
⑴乘積是1的兩個數互爲倒數。
⑵求一個數(0除外)的倒數，只要把這個數的分子、分母調換位置。
⑶1的倒數是1，0沒有倒數
(四)百分數
1、百分數的意義
表示一個數是另一個數的百分之幾的數
百分號是表示百分數的符號。叫做百分數,也叫做百分率或百分比。百分數通常用"%"來表示。
2、百分數的讀法：讀百分數時，先讀百分之，再讀百分號前面的數，讀數時按照整數的讀法來讀。
3、百分數的寫法：百分數通常不寫成分數形式，而在原來的分子後面加上百分號“%”來表示。
4、百分數與折數、成數的互化：
例如：三折就是30%，七五折就是75%，成數就是十分之幾，如一成就是牐闖砂俜質褪?0%，則六成五就是65%。
5、納稅和利息：稅率：應納稅額與各種收入的比率。
利率：利息與本金的百分率。由銀行規定按年或按月計算。利息的計算公式：利息=本金×利率×時間
6、百分數與分數的區別主要有以下三點：
⑴意義不同。百分數是“表示一個數是另一個數的百分之幾的數。”它只能表示兩數之間的倍數關係，不能表示某一具體數量。如：可以說1米是5米的20%，不可以說“一段繩子長爲20%米。”因此，百分數後面不能帶單位名稱。分數是“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數”。分數
不僅可以表示兩數之間的倍數關係，如：甲數是3，乙數是4，甲數是乙數的?;還可以表示一定的數量，如：犌Э恕米等。
⑵應用範圍不同。百分數在生產、工作和生活中，常用於調查、統計、分析與比較。而分數常常是在測量、計算中，得不到整數結果時使用。
⑶書寫形式不同。百分數通常不寫成分數形式，而採用百分號“%”來表示。如：百分之四十五，寫
作：45%;百分數的分母固定爲100，因此，不論百分數的分子、分母之間有多少個公約數，都不約分;百分數的分子可以是自然數，也可以是小數。而分數的分子只能是自然數，它的表示形式有：真分數、假分數、帶分數，計算結果不是最簡分數的一般要通過約分化成最簡分數，是假分數的要化成帶分數。
7、數的互化
⑴小數化成分數：原來有幾位小數，就在1的後面寫幾個零作分母，把原來的小數去掉小數點作分子，能約分的要約分。
⑵分數化成小數：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數，有的不能除盡，不能化成有限小數的，一般保留三位小數。
⑶一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數;如果分母中含有2和5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。
⑷小數化成百分數：只要把小數點向右移動兩位，同時在後面添上百分號。
⑸百分數化成小數：把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。
⑹分數化成百分數：通常先把分數化成小數(除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。
⑺百分數化成小數：先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。
(五)數的整除
1、整除的意義
整數a除以整數b(b≠0)，除得的商是整數而沒有餘數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。除盡的意義甲數除以乙數，所得的商是整數或有限小數而餘數也爲0時，我們就說甲數能被乙數除盡，
(或者說乙數能除盡甲數)這裏的甲數、乙數可以是自然數，也可以是小數(乙數不能爲0)。
2、約數和倍數
⑴如果數a能被數b(b≠0)整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數(或a的因數)。倍數和約數是相互依存的。
⑵一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的約數是它本身。
⑶一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
3、奇數和偶數
⑴自然數按能否被2整除的特徵可分爲奇數和偶數。
①能被2整除的數叫做偶數。0也是偶數。
②不能被2整除的數叫做奇數。
⑵奇數和偶數的運算性質：
①相鄰兩個自然數之和是奇數，之積是偶數。
②奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數，偶數+偶數=偶數;奇數-奇數=偶數，
奇數-偶數=奇數，偶數-奇數=奇數，偶數-偶數=偶數;奇數×奇數=奇數，奇數×偶數=偶數，偶數×偶數=偶數。
4、整除的特徵
⑴個位上是0、2、4、
6、8的數，都能被2整除。
⑵個位上是0或5的數，都能被5整除。
⑶一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除。
⑷一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。
⑸能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。
⑹一個數的末兩位數能被4(或25)整除，這個數就能被4(或25)整除。
⑺一個數的末三位數能被8(或125)整除，這個數就能被8(或125)整除。
5、質數和合數
⑴一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數(或素數)，100以內的質數有：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
⑵一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數，例如4、6、8、9、12都是合數。
⑶1不是質數也不是合數，自然數除了1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類，可分爲質數、合數和1。
6、分解質因數
⑴質因數每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。
其中每個質數都是這個合數的因數，
叫做這個合數的質因數，
例如15=3×5，3和5叫做15的質因數。
⑵分解質因數
把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法來分解質因數。先用能整除
這個合數的質數去除，一直除到商是質數爲止，再把除數和商寫成連乘的形式。
⑶公因(約)數幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個叫這幾個數的最大公因數。
公因數只有1的兩個數，叫做互質數。成互質關係的兩個數，有下列幾種情況：①和任何自然數互質;
②相鄰的兩個自然數互質;
③當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質;
④兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質，如果幾個數中任意兩個都互質，就說這幾個數兩兩互質。
如果較小數是較大數的約數，那麼較小數就是這兩個數的最大公約數。如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是1。
⑷公倍數
①幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數。其中最大的一個叫這幾個數的最大公倍數。求幾個數的最大公約數的方法是：先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所得的商只有公約數1爲止，然後把所有的除數連乘求積，這個積就是這幾個數的的最大公約數。
②幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。求幾個數的最小公倍數的方法是：先用這幾個數(或其中的部分數)的公約數去除，一直除到互質(或兩兩互質)爲止，然後把所有的除數和商連乘求積，這個積就是這幾個數的最小公倍數。如果較大數是較小數的倍數，那麼較大數就是這兩個數的最小公倍數。如果兩個數是互質數，那麼這兩個數的積就是它們的最小公倍數。幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。
二、性質和規律
(一)商不變的規律商不變的規律：在除法裏，被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。
(二)小數的性質小數的性質：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。
(三)小數點位置的移動引起小數大小的變化
1、小數點向右移動一位，原來的數就擴大10倍;小數點向右移動兩位，原來的數就擴大100倍;小數點向右移動三位，原來的數就擴大1000倍
2、小數點向左移動一位，原來的數就縮小10倍;小數點向左移動兩位，原來的數就縮小100倍;小數
點向左移動三位，原來的數就縮小1000倍
3、小數點向左移或者向右移位數不夠時，要用“0"補足位。
(四)分數的基本性質
分數的基本性質：分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數(零除外)，分數的大小不變。
(五)分數與除法的關係
1、被除數÷除數=被除數/除數
2、因爲零不能作除數，所以分數的分母不能爲零。
3、被除數相當於分子，除數相當於分母。三、運算法則
(一)整數四則運算的法則
1、整數加法：把兩個數合併成一個數的運算叫做加法。
在加法裏，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是部分數，和是總數。加數+加數=和一個加數=和-另一個加數
2、整數減法：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。
在減法裏，已知的和叫做被減數，已知的加數叫做減數，未知的加數叫做差。被減數是總數，減數和差分別是部分數。
加法和減法互爲逆運算。
3、整數乘法：求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。
在乘法裏，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。在乘法裏，0和任何數相乘都得0.1和任何數相乘都的任何數。一個因數×一個因數=積一個因數=積÷另一個因數
4、整數除法：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。
在除法裏，已知的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所求的因數叫做商。乘法和除法互爲逆運算。
在除法裏，0不能做除數。因爲0和任何數相乘都得0，所以任何一個數除以0，均得不到一個確定的商。被除數÷除數=商除數=被除數÷商被除數=商×除數
5、乘方:
求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如3×3=32
(二)小數四則運算
1、小數加法：小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合併成一個數的運算。
2、小數減法：
小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算.
3、小數乘法：小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算;一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾是多少。
4、小數除法：
小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
(三)分數四則運算
1、分數加法：
分數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合併成一個數的運算。
2、分數減法：
分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。
3、分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。
4、分數除法：
分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
(四)運算定律
1、加法運算定律
⑴加法交換律：
兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。
⑵加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數;或者先把後兩個數相加，再和第一個數相加它
們的和不變，即(a+b)+c=a+(b+c)。
2、乘法運算定律
⑴乘法交換律：
兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，即a×b=b×a。
⑵乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數;或者先把後兩個數相乘，再和第一個數相乘，
它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c)。
⑶乘法分配律：
兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘，再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。
⑷乘法分配律擴展：
兩個數的差與一數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相減，即(a-b)×c=a×c-b×c
3、減法運算定律
⑴從一個數裏連續減去幾個數，可以從這個數裏減去所有減數的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)。
⑵一個數連續減去兩個數，可以先減去第二個減數，再減去第一個減數，即a-b-c=a-c-b。
4、除法運算定律
⑴一個數連續除以兩個數，可以除以這兩個數的集，即a÷b÷c=a÷(b×c)。
⑵一個數連續除以兩個數，可以先除以第二除數，再除以第一個除數，即a÷b÷c=a÷c÷b。
5、其它
a-b+c=a+c-ba-b+c=a+(b-c)
a÷b×c=a×c÷b
a÷b×c=a÷(b÷c)
6、積的變化規律：在乘法中，一個因數不變，另一個因數擴大(或縮小)若干倍，積也擴大(或縮小)相同的倍數。
推廣：一個因數擴大A倍，另一個因數擴大B倍，積擴大AB倍。
一個因數縮小A倍，另一個因數縮小B倍，積縮小AB倍。
7、商不變性質:在除法中，被除數和除數同時擴大(或縮小)相同的倍數，商不變。m≠0a÷b=(a×m)÷(b×m)=(a÷m)÷(b÷m)
推廣：被除數擴大(或縮小)A倍，除數不變，商也擴大(或縮小)A倍。被除數不變，除數擴大(或縮小)A倍，商反而縮小(或擴大)A倍。
利用積的變化規律和商不變規律性質可以使一些計算簡便。但在有餘數的除法中要注意餘數。如：8500÷200=可以把被除數、除數同時縮小100倍來除，即85÷2=，商不變，但此時的餘數1是被縮小100被後的，所以還原成原來的餘數應該是100。
(五)計算方法
1、整數加法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向前一位進一。
2、整數減法計算法則：
相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數合併在一起，再減。
3、整數乘法計算法則：先用一個因數每一位上的數分別去乘另一個因數各個數位上的數，用因數哪一位上的數去乘，乘得的數的末尾就對齊哪一位，然後把各次乘得的數加起來。
4、整數除法計算法則：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位;如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”佔位。每次除得的餘數要小於除數。
5、小數乘法法則：
先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點;如果位數不夠，就用“0”補足。
6、除數是整數的小數除法計算法則：先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊;如果除到被除數的末尾仍有餘數，就在餘數後面添“0”，再繼續除。
7、除數是小數的除法計算法則：先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點也向右移動幾位(位數不夠的補“0”)，然後按照除數是整數的除法法則進行計算。
8、同分母分數加減法計算方法:同分母分數相加減，只把分子相加減，分母不變。
9、異分母分數加減法計算方法:先通分，然後按照同分母分數加減法的的法則進行計算。1
10、帶分數加減法的計算方法:整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的數合併起來。1
11、分數乘法的計算法則:
分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變;分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
12、分數除法的計算法則:
甲數除以乙數(0除外)，等於甲數乘乙數的倒數。
(六)運算順序
1、小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。
2、分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。
3、沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算;兩級運算先算乘、除法，後算加減法。
4、有括號的混合運算:先算小括號裏面的，再算中括號裏面的，最後算括號外面的。
5、第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。
6、第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。
四、應用
(一)整數和小數的應用
1、簡單應用題
(1)簡單應用題：只含有一種基本數量關係，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應用題。
(2)解題步驟：
a審題理解題意：瞭解應用題的內容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以複述條件和問題，幫助理解題意。
b選擇算法和列式計算：這是解答應用題的中心工作。從題目中告訴什麼，要求什麼着手，逐步根據所給的條件和問題，聯繫四則運算的含義，分析數量關係，確定算法，進行解答並標明正確的單位名稱。
C檢驗：就是根據應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。如果發現錯誤，馬上改正。
2、複合應用題
(1)有兩個或兩個以上的基本數量關係組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做複合應用題。
(2)含有三個已知條件的兩步計算的應用題。求比兩個數的和多(少)幾個數的應用題。比較兩數差與倍數關係的應用題。
(3)含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。已知兩數相差多少(或倍數關係)與其中一個數，求兩個數的和(或差)。已知兩數之和與其中一個數，求兩個數相差多少(或倍數關係)。
(4)解答連乘連除應用題。
(5)解答三步計算的應用題。
(6)解答小數計算的應用題：小數計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數量關係、結構、和解題方式都與正式應用題基本相同，只是在已知數或未知數中間含有小數。
d答案：根據計算的結果，先口答，逐步過渡到筆答。(7)解答加法應用題：
a求總數的應用題：已知甲數是多少，乙數是多少，求甲乙兩數的和是多少。
b求比一個數多幾的數應用題：已知甲數是多少和乙數比甲數多多少，求乙數是多少。
(8)解答減法應用題：
a求剩餘的應用題：從已知數中去掉一部分，求剩下的部分。
-b求兩個數相差的多少的應用題：已知甲乙兩數各是多少，求甲數比乙數多多少，或乙數比甲數少多少。
c求比一個數少幾的數的應用題：已知甲數是多少，，乙數比甲數少多少，求乙數是多少。
(9)解答乘法應用題：
a求相同加數和的應用題：已知相同的加數和相同加數的個數，求總數。
b求一個數的幾倍是多少的應用題：已知一個數是多少，另一個數是它的幾倍，求另一個數是多少。(10)解答除法應用題：
a把一個數平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數和把這個數平均分成幾份的，求每一份是多少。
b求一個數裏包含幾個另一個數的應用題：已知一個數和每份是多少，求可以分成幾份。
C求一個數是另一個數的的幾倍的應用題：已知甲數乙數各是多少，求較大數是較小數的幾倍。
d已知一個數的幾倍是多少，求這個數的應用題。
(11)常見的數量關係：總價=單價×數量路程=速度×時間工作總量=工作時間×工效總產量=單產量×數量
3、典型應用題
具有獨特的結構特徵的和特定的解題規律的複合應用題，通常叫做典型應用題。
(1)平均數問題：平均數是等分除法的發展。解題關鍵：在於確定總數量和與之相對應的總份數。算術平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關係式：數量之和÷數量的個數=算術平均數。
加權平均數：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。數量關係式(部分平均數×權數)的總和÷(權數的和)=加權平均數。
差額平均數：是把各個大於或小於標準數的部分之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和的
平均數。
數量關係式：(大數-小數)÷2=小數應得數最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數
最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數。
例：一輛汽車以每小時100千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時60千米的速度從乙地開往甲地。
求這輛車的平均速度。
分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設爲“1”，則汽車行駛的
總路程爲“2”，從甲地到乙地的速度爲100，所用的時間爲，汽車從乙地到甲地速度爲60千米，
所用的時間是，汽車共行的時間爲+=,汽車的平均速度爲2÷=75(千米)
(2)歸一問題：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是
相同的，這種問題稱之爲歸一問題。根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分爲一次歸一問題，兩次歸一問題。根據球癡單一量之後，解題採用乘法還是除法，歸一問題可以分爲正歸一問題，反歸一問題。一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之後，再用乘法計算結果的歸一問題。反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之後，再用除法計算結果的歸一問題。解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量(單一量)，然後以它爲標準，根據題目的要求算出結果。
數量關係式：單一量×份數=總數量(正歸一)總數量÷單一量=份數(反歸一)
例一個織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計算，織布6930米，需要多少天?分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930÷(4774÷31)=45(天)
(3)歸總問題：是已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量(或單位數量的個數)，通過求總數量求得單位數量的個數(或單位數量)。特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟着變化，不過變化的規律相反，和反比例算法彼此相通。
數量關係式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量=另一個單位數量單位數量×單位個數
÷另一個單位數量=另一個單位數量。
例修一條水渠，原計劃每天修800米，6天修完。實際4天修完，每天修了多少米?
分析：因爲要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800×6÷4=1200
(米)
(4)和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問題。解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和(或兩個小數的和)，然後再求另一個數。解題規律：(和+差)÷2=大數大數-差=小數
(和-差)÷2=小數和-小數=大數
例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時從乙班調46人到甲班工作，這時乙班比甲
班人數少12人，求原來甲班和乙班各有多少人?
分析：從乙班調46人到甲班，對於總數沒有變化，現在把乙數轉化成2個乙班，即94-12，由
此得到現在的乙班是(94-12)÷2=41(人)，乙班在調出46人之前應該爲41+46=87(人)，
甲班爲94-87=7(人)
(5)和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數關係，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。解題關鍵：找準標準數(即1倍數)一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定爲標準數。求出倍數和之後，再求出標準的數量是多少。根據另一個數(也可能是幾個數)與標準數的倍數關係，再去求另一個數(或幾個數)的數量。
解題規律：和÷倍數和=標準數標準數×倍數=另一個數
例:汽車運輸場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛?
分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數115輛內，爲了使總數與(5+1)倍對應，總車輛數應(115-7)輛。
列式爲(115-7)÷(5+1)=18(輛)，18×5+7=97(輛)
(6)差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關係，求兩個數各是多少的應用題。解題規律：兩個數的差÷(倍數-1)=標準數標準數×倍數=另一個數。
例甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米?各減去多少米?分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的3倍，實比乙繩多(3-1)
倍，以乙繩的長度爲標準數。列式(63-29)÷(3-1)=17(米)乙繩剩下的長度，17×3=51
(米)甲繩剩下的長度，29-17=12(米)剪去的長度。
(7)行程問題：關於走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，瞭解他們之間的關係，再根據這類問題的規律解答。
解題關鍵及規律：同時同地相背而行：路程=速度和×時間。同時相向而行：相遇時間=速度和×時間
同時同向而行(速度慢的在前，快的在後)：追及時間=路程速度差。同時同地同向而行(速度慢的在後，快的在前)：路程=速度差×時間。
例甲在乙的後面28千米，兩人同時同向而行，甲每小時行16千米，乙每小時行9千米，甲幾小時追上乙?
分析：甲每小時比乙多行(16-9)千米，也就是甲每小時可以追近乙(16-9)千米，這是速度差。
已知甲在乙的後面28千米(追擊路程)，28千米裏包含着幾個(16-9)千米，也就是追擊所需
要的時間。列式28÷(16-9)=4(小時)
(8)流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也
是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。
船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動的速度。順水速度：船順流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。順速=船速+水速逆速=船速-水速
解題關鍵：因爲順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。解題時要以水流爲線索。
解題規律：船行速度=(順水速度+逆流速度)÷2流水速度=(順流速度逆流速度)÷2路程=順流速度×順流航行所需時間路程=逆流速度×逆流航行所需時間
例一隻輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行28千米，到乙地後，又逆水航行，回到甲地。逆水比順水多行2小時，已知水速每小時4千米。求甲乙兩地相距多少千米?分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用2小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地
的路程。列式爲284×2=20(千米)20×2=40(千米)40÷(4×2)=5(小時)28
×5=140(千米)。
(9)還原問題：已知某未知數，經過一定的四則運算後所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做還原問題。
解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關係。
解題規律：從最後結果出發，採用與原題中相反的運算(逆運算)方法，逐步推導出原數。根據原題的運算順序列出數量關係，然後採用逆運算的方法計算推導出原數。解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，後算乘除法時別忘記寫括號。
例某小學三年級四個班共有學生168人，如果四班調3人到三班，三班調6人到二班，二班調6人
到一班，一班調2人到四班，則四個班的人數相等，四個班原有學生多少人?
分析：當四個班人數相等時，應爲168÷4，以四班爲例，它調給三班3人，又從一班調入2人，
所以四班原有的人數減去3再加上2等於平均數。四班原有人數列式爲168÷4-2+3=43(人)
一班原有人數列式爲168÷4-6+2=38(人);二班原有人數列式爲168÷4-6+6=42(人)三班原
有人數列式爲168÷4-3+6=45(人)。
(10)植樹問題：這類應用題是以“植樹”爲內容。凡是研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關係的應用題，叫做植樹問題。
解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然後按基本公式進行計算。
解題規律：沿線段植樹
棵樹=段數+1棵樹=總路程÷株距+1株距=總路程÷(棵樹-1)總路程=株距×(棵樹-1)沿周長植樹
棵樹=總路程÷株距株距=總路程÷棵樹總路程=株距×棵樹
例沿公路一旁埋電線杆301根，每相鄰的兩根的間距是50米。後來全部改裝，只埋了201根。求改裝後每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線杆，要把電線杆的根數減掉一。列式爲50×(301-1)÷(201-1)=75(米)
(11)盈虧問題：是在等分除法的基礎上發展起來的。他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有餘，一次不足(或兩次都有餘)，或兩次都不足)，已知所餘和不足的數量，求物品適量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差(也稱總差額)，用前一個差去除後一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。解題規律：總差額÷每人差額=人數
總差額的求法可以分爲以下四種情況：第一次多餘，第二次不足，總差額=多餘+不足第一次正好，第二次多餘或不足，總差額=多餘或不足第一次多餘，第二次也多餘，總差額=大多餘-小多餘第一次不足，第二次也不足，總差額=大不足-小不足
例參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組10人，則多25支，如果小組有12人，色筆多餘5支。求每人分得幾支?共有多少支色鉛筆?分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有12人，比10人多2人，而色筆多出了(25-5)
=20支，2個人多出20支，一個人分得10支。列式爲(25-5)÷(12-10)=10(支)10×
12+5=125(支)。
(12)年齡問題：將差爲一定值的兩個數作爲題中的一個條件，這種應用題被稱爲“年齡問題”。解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點是隨着時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善於利用差不變的特點。
例父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的4倍?
分析：父子的年齡差爲48-21=27(歲)。由於幾年前父親年齡是兒子的4倍，可知父子年齡的倍數差
是(4-1)倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。列
式爲：21(48-21)÷(4-1)=12(年)
(13)雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各多少隻的一類應用題。通常稱爲“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題解題關鍵：解答雞兔問題一般採用假設法，假設全是一種動物(如全是“雞”或全是“兔”，然後根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。
解題規律：(總腿數-雞腿數×總頭數)÷一隻雞兔腿數的差=兔子只數兔子只數=(總腿數-2×總頭數)÷2如果假設全是兔子，可以有下面的式子：
雞的只數=(4×總頭數-總腿數)÷2
兔的頭數=總頭數-雞的只數
例雞兔同籠共50個頭，170條腿。問雞兔各有多少隻?
兔子只數(170-2×50)÷2=35(只)
雞的只數50-35=15(只)
(二)分數和百分數的應用
1、分數加減法應用題：分數加減法的應用題與整數加減法的應用題的結構、數量關係和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數或未知數中含有分數。
2、分數乘法應用題：
是指已知一個數，求它的幾分之幾是多少的應用題。特徵：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應的實際數量。
解題關鍵：準確判斷單位“1”的量。找準要求問題所對應的分率，然後根據一個數乘分數的意義正確
列式。
3、分數除法應用題：求一個數是另一個數的幾分之幾(或百分之幾)是多少。
特徵：已知一個數和另一個數，求一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾。“一個數”是比較量，“另一個數”是標準量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數關係。解題關鍵：從問題入手，搞清把誰看作標準的數也就是把誰看作了“單位一”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數。
甲是乙的幾分之幾(百分之幾):甲是比較量，乙是標準量，用甲除以乙。甲比乙多(或少)幾分之幾(百分之幾)：甲減乙比乙多(或少幾分之幾)或(百分之幾)。關係式(甲數減乙數)/乙數或(甲數減乙數)/甲數。
已知一個數的幾分之幾(或百分之幾),求這個數。特徵：已知一個實際數量和它相對應的分率，求單位“1”的量。
解題關鍵：準確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x根據分數乘法的意義列方程，或者根據分數除法的意義列算式，但必須找準和分率相對應的已知實際
數量。
4、出勤率
發芽率=發芽種子數/試驗種子數×100%小麥的出粉率=麪粉的重量/小麥的重量×100%產品的合格率=合格的產品數/產品總數×100%職工的出勤率=實際出勤人數/應出勤人數×100%
5、工程問題：
是分數應用題的特例，它與整數的工作問題有着密切的聯繫。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數量之間相互關係的一種應用題。
解題關鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數，然後根據題目的具體情況，靈活
運用公式。數量關係式：
工作總量=工作效率×工作時間
工作效率=工作總量÷工作時間工作時間=工作總量÷工作效率工作總量÷工作效率和=合作時間
6、納稅
納稅就是把根據國家各種稅法的有關規定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。繳納的稅款叫應納稅款。
應納稅額與各種收入的(銷售額、營業額、應納稅所得額)的比率叫做稅率。
7、利息存入銀行的錢叫做要本金。取款時銀行多支付的錢叫做利息。利息與本金的比值叫做利率。利息=本金×利率×時間
常用的數量關係式
1、每份數×份數=總數總數÷每份數=份數總數÷份數=每份數
2、1倍數×倍數=幾倍數幾倍數÷1倍數=倍數幾倍數÷倍數=1倍數
3、速度×時間=路程路程÷速度=時間路程÷時間=速度
4、單價×數量=總價總價÷單價=數量總價÷數量=單價
5、工作效率×工作時間=工作總量工作總量÷工作效率=工作時間工作總量÷工作時間=工作效率
6、加數+加數=和和-一個加數=另一個加數
7、被減數-減數=差被減數-差=減數差+減數=被減數
8、因數×因數=積積÷一個因數=另一個因數
9、被除數÷除數=商被除數÷商=除數商×除數=被除數
0、總數÷總份數=平均數
11、和差問題的公式
(和+差)÷2=大數(和-差)÷2=小數1
12、和倍問題
和÷(倍數-1)=小數小數×倍數=大數(或者和-小數=大數)1
13、差倍問題
差÷(倍數-1)=小數小數×倍數=大數(或小數+差=大數)
14、相遇問題
相遇路程=速度和×相遇時間相遇時間=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇時間
15、濃度問題
溶質的重量+溶劑的重量=溶液的重量溶質的重量÷溶液的重量×100%=濃度溶液的重量×濃度=溶質的重量溶質的重量÷濃度=溶液的重量
16、利潤與折扣問題
利潤=售出價-成本
利潤率=利潤÷成本×100%=(售出價÷成本-1)×100%
漲跌金額=本金×漲跌百分比利息=本金×利率×時間稅後利息=本金×利率×時間×(1-20%)
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第二章 度量衡
一、概述
1、事物的多少、長短、大小、輕重、快慢等，這些可以測定的客觀事物的特徵叫做量。把一個要測定的量同一個作爲標準的量相比較叫做計量。用來作爲計量標準的量叫做計量單位。
2、數+單位名稱=名數只帶有一個單位名稱的叫做單名數，如：5小時，3千克。
帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做複名數，如：5小時6分，3千克500克。56平方分米=(0.56)平方米就是單名數轉化成單名數。
560平方分米=(5)平方米(60平方分米)就是單名數轉化成複名數的例子。
3、高級單位與低級單位是相對的.比如,"米"相對於分米,就是高級單位,相對於千米就是低級單位.
二、長度
1、什麼是長度長度是一維空間的度量。
2、長度常用單位
*公里(km)*米(m)*分米(dm)*釐米(cm)*毫米(mm)*微米(um)
3、單位之間的換算
*1毫米=1000微米*1釐米=10毫米*1分米=10釐米*1米=1000毫米*1千米=
1000米
三、面積
1、什麼是面積面積，就是物體所佔平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。
2、常用的面積單位
*平方毫米*平方釐米*平方分米*平方米*平方千米
3、面積單位的換算
*1平方釐米=100平方毫米*1平方分米=100平方釐米*1平方米=100平方分米*1公傾=
10000平方米*1平方公里=100公頃
四、體積和容積
1、什麼是體積、容積
①體積，就是物體所佔空間的大小。
②容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。
2、常用單位
①體積單位：*立方米*立方分米*立方厘米
②容積單位：*升*毫升
3、單位換算
①體積單位
*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米
①容積單位
*1升=1000毫升*1升=1立方米*1毫升=1立方厘米
五、質量
1、什麼是質量質量，就是表示表示物體有多重。
2、常用單位*噸t*千克kg*克g
3、常用換算*一噸=1000千克*1千克=1000克
六、時間
1、什麼是時間是指有起點和終點的一段時間
2、常用單位世紀、年、月、日、時、分、秒
3、單位換算
*1世紀=100年(公元1年—100年是第一世紀，公元1901—2000是第二十世紀)
*平年一年365天，閏年一年366天。
*1年12個月(一、三、五、七、八、十、十二是大月，大月有31天;四、六、九、十一是小月小月，小月有30天;平年2月有28天閏年2月有29天)
*閏年年份是4的倍數，整百年份須是400的倍數。
*1天=24小時1小時=60分一分=60秒
七、貨幣
1、什麼是貨幣貨幣是充當一切商品的等價物的特殊商品。貨幣是價值的一般代表，可以購買任何別的商品。
2、常用單位*元*角*分
3、單位換算*1元=10角*1角=10分<
